Casino-Arena | Bet-Arena | Trade-Arena | Play-Arena
V tomto fóru můžete diskutovat o všem, co nesouvisí s pokerem, ale také o tom, co s ním souvisí, ale nemůžete to nikam jinam zařadit.

Moderátoři: Luky, Tywinn

  od PJAY
 pát 03. kvě 2019 15:01:08
SpoilerZobrazit
Hádanka „součin vs součet“

O dvou přirozených číslech, větších než „1“, víme následující. Profesor matematiky Ambrož zná jejich součin menší než „100“ a profesor matematiky Bernard zná jejich součet.
Mezi Ambrožem a Bernardem proběhl rozhovor:
Ambrož: „Nevím, která to jsou čísla.“ (1)
Bernard: „To jsem věděl.“ (2)
Ambrož: „A tak já už vím!“ (3)
Bernard: „A tak já už vím také!“ (4)
Která jsou to čísla?

Řešení.

Označíme Ambrože „A“ a Bernarda „B“. Každý z nich si vytvořil tabulku. Ta, kterou má „A“, obsahuje řádky s dvojicemi čísel v závorce, před kterou je uveden součet těch čísel a na počátku každého řádku stejný součin dvojic čísel v závorkách, ta, kterou má „B“, má před závorkami vždy součin těch čísel a na počátku řádku vždy stejný součet. V obou tabulkách podle podmínek nejsou dvojice čísel, z nichž alespoň jedno se rovná „1“. V tabulce součinů tak mohou chybět celé řádky (např. se součinem „37“ (1*37)) a tabulka končí řádkem s maximálním součinem „99“. V tabulce součtů např. řádek se součtem „3“ (1+2) a navíc v tabulce součtů samozřejmě chybí dvojice čísel, jejichž součin je větší nebo rovný „100“.

Platí a je zřejmé: - že „A“ si dokáže vytvořit tabulku, kterou má „B“ a naopak,
- že když „A“ zná nějaký součin, tak „B“ obecně zná několik odpovídajících součtů a „A“ neví
který,
- že když „B“ zná nějaký součet, tak „A“ obecně zná několik odpovídajících součinů a „B“ neví
který,
- že existuje méně zřejmá idea: - že pokud se podaří tabulku „A“ redukovat tak, že v ní
zůstanou pouze řádky s jedinou dvojicí čísel, které tvoří
součin a ta je jediná, která tvoří součet v tabulce „B“,
- že pokud se podaří tabulku „B“ redukovat tak, že v ní
zůstanou pouze řádky s jedinou dvojicí čísel, která tvoří
součet a ta je jediná, která tvoří součin v tabulce „A“,
- že pak taková dvojice čísel je řešením hádanky a takových
dvojic může být více,
- že cesta k redukovaným tabulkám bude postupná.

Tabulka možných součinů:
4 4(2,2)
6 5(2,3)
8 6(2,4) (r8)
9 6(3,3)
10 7(2,5)
12 7(3,4) 8(2,6)
14 9(2,7)
15 8(3,5)
16 8(4,4) 10(2,8)
18 9(3,6) 11(2,9)
20 9(4,5) 12(2,10)
21 10(3,7)
22 13(2,11)
24 10(4,6) 11(3,8) 14(2,12) r24)
25 10(5,5)
26 15(2,13)
27 12(3,9) (r27)
28 11(4,7) 16(2,14)
30 11(5,6) 13(3,10) 17(2,15)
32 12(4,8) 18(2,16) (r32)
33 14(3,11)
34 19(2,17)
35 12(5,7) (r35)
36 12(6, 6) 13(4, 9) 15(3,12) 20(2,18)
38 21(2,19)
39 16(3,13)
40 13(5,8) 14(4,10) 22(2,20)
42 13(6, 7) 17(3,14) 23(2,21)
44 15(4,11) 24(2,22) (r44)
45 14(5,9) 18(3,15)
46 25(2,23)
48 14(6, 8) 16(4,12) 19(3,16) 26(2,24) (r48)
49 14(7,7)
50 15(5,10) 27(2,25)
51 20(3,17) (r51)
52 17(4,13) 28(2,26)
54 15(6, 9) 21(3,18) 29(2,27)
55 16(5,11)
56 15(7, 8) 18(4,14) 30(2,28)
57 22(3,19)
58 31(2,29)
60 16(6,10) 17(5,12) 19(4,15) 23(3,20) 32(2,30)
62 33(2,31)
63 16(7,9) 24(3,21)
64 16(8, 8) 20(4,16) 34(2,32)
65 18(5,13)
66 17(6,11) 25(3,22) 35(2,33)
68 21(4,17) 36(2,34)
69 26(3,23)
70 17(7,10) 19(5,14) 37(2,35)
72 17(8, 9) 18(6,12) 22(4,18) 27(3,24) 38(2,36)
74 39(2,37)
75 20(5,15) 28(3,25)
76 23(4,19) 40(2,38)
77 18(7,11)
78 19(6,13) 29(3,26) 41(2,39)
80 18(8,10) 21(5,16) 24(4,20) 42(2,40) (r80)
81 18(9,9) 30(3,27) (r81)
82 43(2,41)
84 19(7,12) 20(6,14) 25(4,21) 31(3,28) 44(2,42)
85 22(5,17)
86 45(2,43)
87 32(3,29)
88 19(8,11) 26(4,22) 46(2,44)
90 19(9,10) 21(6,15) 23(5,18) 33(3,30) 47(2,45)
91 20(7,13)
92 27(4,23) 48(2,46)
93 34(3,31)
94 49(2,47) (r94)
95 22(5,19)
96 20(8,12) 22(6,16) 28(4,24) 35(3,32) 50(2,48)
98 21(7,14) 51(2,49) (r98)
99 20(9,11) 36(3,33) (r99)

Tabulka možných součtů:
4 4(2,2)
5 6(2,3)
6 8(2,4) 9(3,3)
7 10(2,5) 12(3,4)
8 12(2,6) 15(3,5) 16(4,4)
9 14(2,7) 18(3,6) 20(4,5)
10 16(2,8) 21(3,7) 24(4,6) 25(5,5)
11 18(2,9) 24(3,8) 28(4,7) 30(5,6)
12 20(2,10) 27(3,9) 32(4,8) 35(5,7) 36(6,6) (r12)
13 22(2,11) 30(3,10) 36(4,9) 40(5,8) 42(6,7)
14 24(2,12) 33(3,11) 40(4,10) 45(5,9) 48(6, 8) 49(7,7)
15 26(2,13) 36(3,12) 44(4,11) 50(5,10) 54(6,9) 56(7,8)
16 28(2,14) 39(3,13) 48(4,12) 55(5,11) 60(6,10) 63(7,9) 64(8,8)
17 30(2,15) 42(3,14) 52(4,13) 60(5,12) 66(6,11) 70(7,10) 72(8,9) (r17)
18 32(2,16) 45(3,15) 56(4,14) 65(5,13) 72(6,12) 77(7,11) 80(8,10) 81(9,9) (r18)
19 34(2,17) 48(3,16) 60(4,15) 70(5,14) 88(6,13) 84(7,12) 88(8,11) 90(9,10)
20 36(2,18) 51(3,17) 64(4,16) 75(5,15) 84(6,14) 91(7,13) 96(8,12) 99(9,11)
21 38(2,19) 54(3,18) 68(4,17) 80(5,16) 90(6,15) 98(7,14) (r21)
22 40(2,20) 57(3,19) 72(4,18) 85(5,17) 96(6,16)
23 42(2,21) 60(3,20) 76(4,19) 90(5,18)
24 44(2,22) 63(3,21) 80(4,20) 95(5,19) (r24)
25 46(2,23) 66(3,22) 84(4,21)
26 48(2,24) 69(3,23) 88(4,22)
27 50(2,25) 72(3,24) 92(4,23)
28 52(2,26) 75(3,25) 96(4,24)
29 54(2,27) 78(3,26) (r29)
30 56(2,28) 81(3,27)
31 58(2,29) 84(3,28)
32 60(2,30) 87(3,29)
33 62(2,31) 90(3,30) (r33)
34 64(2,32) 93(3,31)
35 66(2,33) 96(3,32)
36 68(2,34) 99(3,33)
37 70(2,35)
38 72(2,36)
39 74(2,37)
40 76(2,38)
41 78(2,39)
42 80(2,40)
43 82(2,41)
44 84(2,42) (r44)
45 86(2,43)
46 88(2,44)
47 90(2,45)
48 92(2,46)
49 94(2,47) (r49)
50 96(2,48)
51 98(2,49) (r51)


„B“ ví, že hledané dvojice čísel jsou pouze v těch řádcích, které by po odstranění nevyhovujících dvojic čísel obsahovaly jedinou dvojici čísel, např. v řádcích (r29) nebo (r33). Zda jsou zároveň řešením, si jist není. Jistotu bude mít za předpokladu, když dvojice čísel, která „by ráda byla řešením“, bude součin těch čísel tvořit jako jediná.
Naopak si je zcela jist, že dvojice čísel, která je řešením, se určitě nenachází v ostatních řádcích jeho tabulky, např. v řádku (r17) (obsahuje více než jednu dvojici čísel), protože taková dvojice čísel není v takovém řádku tabulky jednoznačně dohledatelná.
(Ví také, že v tabulce patřící „A“ neexistují řádky s jedinou dvojicí čísel.)

„A“ ví, že hledané dvojice čísel jsou pouze v řádcích se dvěmi dvojicemi čísel, např. v (r98) nebo (r99) a řešení nelze nalézt, pokud se nepodaří jednu z těchto dvou dvojic čísel odstranit tak, že zároveň ta druhá by „ráda byla řešením“. Řešením bude, když dvojice čísel bude součet těch čísel tvořit jako jediná.
Naopak si je zcela jist, že dvojice čísel, která je řešením, se určitě nenachází v ostatních řádcích jeho tabulky, např. v řádku (r18) (obsahuje více než dvě dvojice čísel), protože taková dvojice čísel není v takovém řádku tabulky jednoznačně dohledatelná.
(Ví také, že v tabulce patřící „B“ existují řádky s jedinou dvojicí čísel.)

Oba ví, že když se jim podaří redukovat počty dvojic čísel v tabulkách tak, že v tabulce patřící „B“ budou pouze řádky s jednou dvojicí čísel a v tabulce „A“ pouze řádky se dvěma dvojicemi čísel, bude řešení v dohlednu.
A už oba také ví, že když se v tabulce patřící „A“ podaří v řádcích se dvěma dvojicemi čísel jednu odstranit, takže tam zůstane dvojice čísel jediná, tak tato dvojice čísel snad už řešením bude (ale ani teď to není ještě úplně jisté).

Tedy, jak na to?

„A“ (je to matematik, nezapomínat) stále „vrtají“ v hlavě řádky, např. viz (r94) nebo (r35) (jejich součin je tvořen jedinou dvojicí čísel, součet jejích čísel je v prvním případě tvořen dvojicí čísel jedinou, viz r(49), zatímco v případě druhém dokonce pěti dvojicemi čísel, viz (r12)).
„Rozhoupe se“ a rozhodne, že hádanku „vylepší (zachrání)“ (viz poznámku na konci) odstraněním právě řádků s těmito „podivnými“ součiny. Jde samozřejmě o řádky s dvojicí prvočísel (součin, vytvořený dvojicí prvočísel je jediný) a z „pilnosti“ přidá ještě dvě dvojice čísel, viz řádky (r8) a (r27), protože ty jsou jedinečné také.

Pozn.: ideální dvojice (2,2) je exkluzivní a jediná existující, protože dokonce platí 2*2=4=2+2. Není ale řešením hádanky, protože dialog (1), který pronese „A“ později, použití dvojic prvočísel zakazuje.

Nová verze tabulky „A“:
12 7(3,4) 8(2,6)
16 8(4,4) 10(2,8)
18 9(3,6) 11(2,9)
20 9(4,5) 12(2,10)
24 10(4,6) 11(3,8) 14(2,12)
28 11(4,7) 16(2,14)
30 11(5,6) 13(3,10) 17(2,15)
32 12(4,8) 18(2,16) (r32)
36 12(6, 6) 13(4, 9) 15(3,12) 20(2,18)
40 13(5,8) 14(4,10) 22(2,20)
42 13(6, 7) 17(3,14) 23(2,21)
44 15(4,11) 24(2,22)
45 14(5,9) 18(3,15)
48 14(6, 8) 16(4,12) 19(3,16) 26(2,24) (r48)
50 15(5,10) 27(2,25)
52 17(4,13) 28(2,26)
54 15(6, 9) 21(3,18) 29(2,27)
56 15(7, 8) 18(4,14) 30(2,28)
60 16(6,10) 17(5,12) 19(4,15) 23(3,20) 32(2,30)
63 16(7,9) 24(3,21)
64 16(8, 8) 20(4,16) 34(2,32)
66 17(6,11) 25(3,22) 35(2,33)
68 21(4,17) 36(2,34)
70 17(7,10) 19(5,14) 37(2,35)
72 17(8, 9) 18(6,12) 22(4,18) 27(3,24) 38(2,36)
75 20(5,15) 28(3,25)
76 23(4,19) 40(2,38)
78 19(6,13) 29(3,26) 41(2,39)
80 18(8,10) 21(5,16) 24(4,20) 42(2,40) (r80)
81 18(9,9) 30(3,27) (r81)
84 19(7,12) 20(6,14) 25(4,21) 31(3,28) 44(2,42)
88 19(8,11) 26(4,22) 46(2,44)
90 19(9,10) 21(6,15) 23(5,18) 33(3,30) 47(2,45)
92 27(4,23) 48(2,46)
96 20(8,12) 22(6,16) 28(4,24) 35(3,32) 50(2,48)
98 21(7,14) 51(2,49) (r98)
99 20(9,11) 36(3,33) (r99)

je hotová a aby nějak dal na vědomí, co provedl a také proto, aby „B“ „věděl“, „A“ pronese klíčový

dialog (1).
„B“ tak ví, že se pracuje bez dvojic prvočísel, proto ze své tabulky dvojice prvočísel odstraní a z „ pilnosti“ odstraní i řádky, které obsahují více než jednu dvojici čísel (v několika případech mu tak vznikne řádek, viz např. (r33), s jedinou dvojicí čísel a takový zatím ponechá pro další zpracování). A také už ví, „A“ mu to naznačil více než jasně, že tabulka „A“ určitě nemá řádky s jedinou dvojicí čísel. Takže mu vznikla

„okřesaná“ tabulka „B“:
7 12(3,4)
31 84(3,28)
32 60(2,30)
33 90(3,30) (r33)
34 64(2,32)
37 70(2,35)
38 72(2,36)
40 76(2,38)
41 78(2,39)
42 80(2,40) (r42)
44 84(2,42) (r44)
46 88(2,44)
47 90(2,45)
48 92(2,46)
49 94(2,47) (r49)
50 96(2,48)
51 98(2,49) (r51)

která řádně „prozřela“. „B“ , aby nějak oznámil ukončení své akce a že „pochopil“, pronese

dialog (2).
„A“ tak ví, že „B“ pochopil a proto reagoval, a je si jist, že tabulku upravil (koneckonců je to také matematik, nezapomínat), takže provede další úpravy. Odstraní řádky s více než dvěmi dvojicemi čísel a u některých řádků se dvěmi dvojicemi čísel, viz např. (r32), si všimne, že je lze odstranit obě (takže řádek se doslova „vypaří“).

Zdůvodnění: řádek obsahuje dvě dvojice čísel. Součty dvojic čísel jsou „12“ a „18“, kde součet „12“ té první lze
vytvořit třemi dvojicemi (2,10), (4,8) a (6,6), viz (r12) a součet té druhé dokonce šesti dvojicemi,
viz r(18) (dvojice prvočísel samozřejmě už uvažovat nelze, stejně jako „speciální“ dvojici (3,9)
v řádku (r12)). Je zřejmé, že jednoznačný výběr dvojice čísel nelze provést a řádek odstraní.
Podobně „A“ postupuje u všech řádků, takže mu nakonec zůstane

torzo tabulky „A“:
76 23(4,19) 40(2,38)
92 27(4,23) 48(2,46)
98 21(7,14) 51(2,49) (r98)

„A“ jde ale ještě dál. Zajímá ho odpověď na zásadní otázku, zda v této tabulce dokáže vždy jednu z dvojic čísel řádku odstranit, protože pak by zůstala dvojice jediná a znal by tak dvojici čísel řešení.
Zkusí to např. u řádku (r98) a zjistí, že to lze.
Zdůvodnění: vyjde z úvahy. Protože on má součin „98“, má „B“ součet „21“ nebo „51“. V případě součtu „21“,
který je možné vytvořit součty čísel dvojic (1,20), (2,19), (3,18), (4,17), (5,16), (6,15), (7,14), (8,13)
a (9,12), kde dvojice (1,20), (8,13) a (9,12) nevyhovují podmínkám a součet (2,19) je dvojice
prvočísel, viz také (r21), zbývá pět dvojic čísel, takže dvojici čísel nelze jednoznačně určit a dvojici
(7,14) odstraní. Zároveň ví, že druhý součet „51“ je možné vytvořit pouze jedinou dvojicí (2,49),
protože dvojice, které součet mohou vytvořit, jsou (1,50), (2,49), (3,48), (4,47), …, (9,42), kde
dvojice (1,50) a (4,48), …, (9,42) nevyhovují podmínkám. Proto je dvojice (2,49) řešením. „A“ tak
postupuje u dalších řádků, takže mu nakonec zůstanou řádky vždy s jedinou dvojicí čísel, viz

tabulku „A“:
76 40(2,38)
92 48(2,46)
98 51(2,49) (r98)

kde každá dvojice čísel v řádku vytváří pouze jediný součet, viz např. řádek (r98). Proto prohlásí

dialog (3).
„B“ tak ví, že „A“ už dvojice čísel zná. „B“ má ve své tabulce řádky, z nichž může některé dvojice čísel (a tím i celé řádky) odstranit.
Zdůvodnění: např. dvojice čísel v řádku (r42) se součinem „80“. Rozklad součinu na prvočinitele je 2*2*2*2*5,
takže součin mohl vzniknout pomocí čtyř dvojic (8,10), (5,16), (4,20) a (2,40), takže dvojici čísel
nelze jednoznačně určit a dvojici (2,40) (a tím i celý řádek) odstraní. „B“ tak postupuje i u dalších
řádků, takže i jemu nakonec zůstanou řádky (vždy s jedinou dvojicí čísel), viz

tabulku „B“:
40 76(2,38)
48 92(2,46)
51 98(2,49) (r51)

kde každá dvojice čísel v řádku vytváří pouze jediný součin, viz např. řádek (r51). Proto prohlásí

dialog (4).
Oba, „A“ i „B“, tak znají řešení, jsou to dvojice (2,38), (2,46) a (2,49) (když „B“ pracuje např. se součtem „48“, ví podle své tabulky, že „A“ pracuje s jediným součinem „92“ - v tomto případě je tedy dvojice (2,46) jediná, která řeší rovnosti 92=2*46 a 48=2+46).


Poznámka na konci: hádanka se diametrálně změní, když se jednoduchým (přesto zásadním) způsobem dialog
změní např. na: - „A“: „Čísla už znám.“ (5)
- „B“: „Já už také!“ (6)
Takový dialog totiž znamená, že „A“ původní tabulku podstatně předělal na

tabulku „A“:
4 4(2,2)
6 5(2,3)
8 6(2,4)
9 6(3,3)
10 7(2,5)
14 9(2,7)
15 8(3,5)
21 10(3,7)
22 13(2,11)
25 10(5,5)
26 15(2,13)
27 12(3,9)
33 14(3,11)
34 19(2,17)
35 12(5,7)
38 21(2,19)
39 16(3,13) (r39)
46 25(2,23)
49 14(7,7)
51 20(3,17)
55 16(5,11) (r55)
57 22(3,19)
58 31(2,29)
62 33(2,31)
65 18(5,13)
69 26(3,23)
74 39(2,37)
77 18(7,11)
82 43(2,41)
85 22(5,17)
86 45(2,43)
87 32(3,29)
91 20(7,13)
93 34(3,31)
94 49(2,47)
95 22(5,19)

do které přidal dvě „speciální“ dvojice (2,4) a (3,9) (i když nejde o dvojice prvočísel, jsou také jedinečné) a následně odstranil dvojice řádků, u kterých je součet čísel dvojic shodný, viz např. řádky (r39) a (r55). Takový součet by totiž určoval řádek v tabulce „B“ obsahující dvě dvojice čísel, viz řádek (r16) a „B“ by nedokázal dvojici čísel jednoznačně určit (takových dvojic je 7, jsou tučně označené). Takže

tabulka „A“:
4 4(2,2)
6 5(2,3)
10 7(2,5)
14 9(2,7)
15 8(3,5)
22 13(2,11)
26 15(2,13)
33 14(3,11)
34 19(2,17) (r34)
38 21(2,19)
46 25(2,23)
49 14(7,7)
58 31(2,29) (r58)
62 33(2,31)
69 26(3,23)
74 39(2,37)
82 43(2,41)
86 45(2,43)
87 32(3,29)
93 34(3,31)
94 49(2,47)
95 22(5,19)

je nyní změněná a „B“, který dialog slyšel, ví, že se pracuje s dvojicemi prvočísel a že „A“ má tabulku, jejíž všechny řádky obsahují právě jedinou dvojici čísel. Takže i on svou původní tabulku nejprve předělá na

tabulku „B“:
4 4(2.2)
5 6(2,3)
6 8(2,4) 9(3,3)
7 10(2,5)
8 15(3,5)
9 14(2,7)
10 21(3,7) 25(5,5)
12 27(3,9)2 35(5,7)
13 22(2,11)
14 33(3,11)
15 26(2,13)
16 39(3,13) 55(5,11) (r16)
18 65(5,13) 77(7,11)
19 34(2,17)
20 51(3,17) 91(7,13)
21 38(2,19)
22 57(3,19) 85(5,17)
24 95(5,19)
25 46(2,23)
26 69(3,23)
31 58(2,29)
32 87(3,29)
33 62(2,31)
34 93(3,31)
39 74(2,37)
43 82(2,41)
45 86(2,43)
49 94(2,47)

a zjišťuje, že obsahuje řádky, např. řádek (r16), ve kterém se nachází dvě dvojice čísel, takže by se dvojice čísel řešení nedala jednoznačně určit. Proto tento řádek a další podobné odstraní, takže nakonec má

tabulku „B“:
4 4(2,2)
5 6(2,3)
7 10(2,5)
8 15(3,5)
9 14(2,7)
13 22(2,11)
14 33(3,11)
15 26(2,13)
19 34(2,17) (r19)
21 38(2,19)
24 95(5,19)
25 46(2,23)
26 69(3,23)
31 58(2,29) (r31)
32 87(3,29)
33 62(2,31)
34 93(3,31)
39 74(2,37)
43 82(2,41)
45 86(2,43)
49 94(2,47)

Nalezení dvojic čísel, které jsou řešením, je triviální, stejně jako jsou triviální obě tabulky.
Např. „B“ z řádku (r31) ví, že „A“ zná jediný součin „58“ a že dvojice (2,29) je řešením, viz řádek (r58) a „A“ z řádku (r34) ví, že „B“ zná jediný součet „19“ a že dvojice (2,17) je řešením, viz řádek (r19).
„A“ i „B“ tak hledané dvojice čísel ihned znají (hádanka degenerovala) a dialog (6) je prakticky zbytečný.
Opět je potřeba připomenout, jak klíčový je dialog (1).

Hádanka je skvěle suchopárná, proto může mnohé řešitele značně rychle odradit, ale jejímu tvůrci autor řešení (tvůrce nezná, ale ví, že to je lišák) gratuluje, vymyslel ji parádně.
(Hádanku lze řešit i množinovými operacemi, stejně suchopárnými, jako hádanka, nad množinami vyhovujících dvojic čísel.)

V Brně, duben 2019
To je tak dlouhy, ze to ani Alkaatch nezapne:)
  • 1
  • 25
  • 26
  • 27
  • 28
  • 29