Casino-Arena | Bet-Arena | Trade-Arena | Play-Arena
V tomto fóru můžete diskutovat o všem, co nesouvisí s pokerem, ale také o tom, co s ním souvisí, ale nemůžete to nikam jinam zařadit.

Moderátoři: Luky, Tywinn

  od PJAY
 úte 23. kvě 2017 20:13:39
Tadoch píše:Priklad u prijimacek na vš a fakt si nejsem uplne jisty, jak na nej vlastne jit. Vsechny reseni mi prijdou hrozne prasacky a ze to neni uplne ono. Nenapadlo by nekoho hezky cisty reseni? Ostatni priklady jsou vylozene snadny, ale tady fakt netusim...

"Určete všechna čtyřciferná čísla, pro něž platí, že zvětšíme-li dvě cifry takového čísla vždy o 3 a zbývající dvě cifry zmenšíme vždy o 4, tak dostaneme dvojnásobek původního čísla"
Mě napadlo to hodit do googlu.
Dobrý večer. Máme-li čtyřciferné číslo, tak bude mít tvar

'ABCD' = 1000 A + 100 B + 10 C + D

Ve čtyřmístném čísle můžeme vypsat všechny dvojice cifer, které budeme zvyšovat
o 3 (zbývající budeme snižovat o 4). Počet těchto dvojic bude $_{{6 \choose 2}=6}$. Takový počet možno ověřit vylučovací metodou:

1. 2. 3. 4. 5. 6.
AB, AC, AD, BC, BD, CD

Podle uvedeného pořadí:

1. (1000A+3000) + (100B+300) + (10C-40) + (D-4) =2 * 'ABCD'
pak
3000 + 300 - 40 - 4 = 3256 = 1*'ABCD'
takže první číslo by mělo být 3256

2. (1000A+3000) + (100B - 400) + (10C+30) + (D-4) =2 * 'ABCD'
3000 - 400 + 30 - 4 = 2626 = 1*'ABCD'
takže druhé číslo by mělo být 2626

atd.
  od A_Rimmer
 úte 23. kvě 2017 20:34:59
PJAY píše:..
wtf.jpeg
wtf.jpeg (38.21 KiB) Zobrazeno 1503 x
  od voki8
 úte 23. kvě 2017 20:54:21
SpoilerZobrazit
Tadoch píše:Priklad u prijimacek na vš a fakt si nejsem uplne jisty, jak na nej vlastne jit. Vsechny reseni mi prijdou hrozne prasacky a ze to neni uplne ono. Nenapadlo by nekoho hezky cisty reseni? Ostatni priklady jsou vylozene snadny, ale tady fakt netusim...

"Určete všechna čtyřciferná čísla, pro něž platí, že zvětšíme-li dvě cifry takového čísla vždy o 3 a zbývající dvě cifry zmenšíme vždy o 4, tak dostaneme dvojnásobek původního čísla"
Řešení, řekněme vylučovací metodou.
SpoilerZobrazit
První číslo určitě musíme vždy zvětšovat a všechna čísla musí být menší než 5000.
Máme 5 možností, co může být na prvním místě - 0,1,2,3,4
0 a 1 jsou moc malé, protože když je zvětšíme o 3, tak vždy dostaneme více než dvojnásobek.
4 je zase moc velká, protože když ji zvětšíme o 3 tak vždy dostaneme méně než dvojnásobek.

Zbývá
2 -> 5
3 -> 6

A) Začnu možností 3 -> 6.

Co můžeme udělat s druhým číslem?

A1)
Pokud ho taky zvětšíme o 3, tak jediná možnost je, že druhé číslo bude dvojka, nebo trojka. V jiném případě po zdvojnásobení dostaneme příliš malé nebo příliš velké číslo. Další dvě čísla musíme zmenšit o 4.

A1.1)
32.. -> 65.. - poslední číslo uhodneme snadno, musí být šestka.

takže máme 32.6 -> 65.2 - zase snadno uhodneme, musí to být pětka. Nevím, jak to vysvětlit, to už prostě je vidět :D
takže máme číslo 3256 -> 6512

A1.2)
33.. -> 66.. (tohle nepůjde, pokud poslední dvě cifry zmenšujeme, musíme zvětšit řád u stovek na sedmičku, ale to nemůžeme udělat)

A2)
Další možnost, co můžeme udělat, je druhé číslo zmenšit o 4, ale to taky nepůjde ze stejného důvodu jako v předchozím odstavci. Museli bychom jít přes tisíce a zvýšit první cifru na 4, což zase nejde.
Tím jsme vyřešili všechny možnosti pro 3 -> 6

B) Druhá možnost je 2 -> 5

2... -> 5...
Druhé číslo určitě musíme zmenšit o 4, jinak není možné dostat z dvojky pětku.
Tady se to zase trochu rozvětví, protože u třetího a čtvrtého čísla nevíme, které z nich budeme chtít zvětšovat, takže máme ještě dvě možnosti, co dosadit jako druhé číslo (5 a 6)

B1)

26.. -> 52..

Zbývá vyřešit třetí a čtvrté číslo. Třetí se evidentně musí zvětšovat a čtvrté zmenšovat - ten samý případ jako u prvních dvou čísel - 2626 -> 5252

B2)

Když za druhé číslo dosadíme 5 dostaneme

25.. -> 51..

Třetí se musí zmenšovat, čtvrté zvětšovat. To znamená, že čtvrté musí být trojka.
25.3 -> 51.6
Poslední číslo už zase uhodneme - 2563 -> 5126

Víc možností není

Řešení:

3256, 2626, 2563

Pak jsou tady ještě možnosti, že ze čtyřciferného čísla vytvoříme pěticiferné (6326, 5633, 6263), ale to nevím jestli je legální.
  od Tadoch
 stř 24. kvě 2017 8:35:46
voki8 píše:
SpoilerZobrazit
Tadoch píše:Priklad u prijimacek na vš a fakt si nejsem uplne jisty, jak na nej vlastne jit. Vsechny reseni mi prijdou hrozne prasacky a ze to neni uplne ono. Nenapadlo by nekoho hezky cisty reseni? Ostatni priklady jsou vylozene snadny, ale tady fakt netusim...

"Určete všechna čtyřciferná čísla, pro něž platí, že zvětšíme-li dvě cifry takového čísla vždy o 3 a zbývající dvě cifry zmenšíme vždy o 4, tak dostaneme dvojnásobek původního čísla"
Řešení, řekněme vylučovací metodou.
SpoilerZobrazit
První číslo určitě musíme vždy zvětšovat a všechna čísla musí být menší než 5000.
Máme 5 možností, co může být na prvním místě - 0,1,2,3,4
0 a 1 jsou moc malé, protože když je zvětšíme o 3, tak vždy dostaneme více než dvojnásobek.
4 je zase moc velká, protože když ji zvětšíme o 3 tak vždy dostaneme méně než dvojnásobek.

Zbývá
2 -> 5
3 -> 6

A) Začnu možností 3 -> 6.

Co můžeme udělat s druhým číslem?

A1)
Pokud ho taky zvětšíme o 3, tak jediná možnost je, že druhé číslo bude dvojka, nebo trojka. V jiném případě po zdvojnásobení dostaneme příliš malé nebo příliš velké číslo. Další dvě čísla musíme zmenšit o 4.

A1.1)
32.. -> 65.. - poslední číslo uhodneme snadno, musí být šestka.

takže máme 32.6 -> 65.2 - zase snadno uhodneme, musí to být pětka. Nevím, jak to vysvětlit, to už prostě je vidět :D
takže máme číslo 3256 -> 6512

A1.2)
33.. -> 66.. (tohle nepůjde, pokud poslední dvě cifry zmenšujeme, musíme zvětšit řád u stovek na sedmičku, ale to nemůžeme udělat)

A2)
Další možnost, co můžeme udělat, je druhé číslo zmenšit o 4, ale to taky nepůjde ze stejného důvodu jako v předchozím odstavci. Museli bychom jít přes tisíce a zvýšit první cifru na 4, což zase nejde.
Tím jsme vyřešili všechny možnosti pro 3 -> 6

B) Druhá možnost je 2 -> 5

2... -> 5...
Druhé číslo určitě musíme zmenšit o 4, jinak není možné dostat z dvojky pětku.
Tady se to zase trochu rozvětví, protože u třetího a čtvrtého čísla nevíme, které z nich budeme chtít zvětšovat, takže máme ještě dvě možnosti, co dosadit jako druhé číslo (5 a 6)

B1)

26.. -> 52..

Zbývá vyřešit třetí a čtvrté číslo. Třetí se evidentně musí zvětšovat a čtvrté zmenšovat - ten samý případ jako u prvních dvou čísel - 2626 -> 5252

B2)

Když za druhé číslo dosadíme 5 dostaneme

25.. -> 51..

Třetí se musí zmenšovat, čtvrté zvětšovat. To znamená, že čtvrté musí být trojka.
25.3 -> 51.6
Poslední číslo už zase uhodneme - 2563 -> 5126

Víc možností není

Řešení:

3256, 2626, 2563

Pak jsou tady ještě možnosti, že ze čtyřciferného čísla vytvoříme pěticiferné (6326, 5633, 6263), ale to nevím jestli je legální.
uplne presne jsem na to ve vysledku sel taky, ale zdalo se mi to hrozne komplikovany a nechtelo se mi to dodelavat. ostatni priklady tam byly neco typu "mame 3 seriove zapojeny kondenzatory o kapacite yxz, jaka je celkova kapacita?" a podobny, coz da clovek z hlavy bez pocitani, kdyz zna vzorecek. a pak tam byla tahle silenost, u ktery jsem si rikal, ze proste musi byt taky nejaky vylozene snadny reseni, jenom to chce napad :)

kazdopadne dekuji i PJAYovi za vygoogleni, ale porad moc nechapu, proc by to mel vlastne byt vysledek, i kdyz to vlastne vyslo :)
  od alkaatch
 stř 24. kvě 2017 8:57:31
Tyhle úlohy bejvaj na střední v různých olympiádách (tada před 20 lety když jsem byl na střední...). Vždycky je to o tomhle:
'ABCD' = 1000 A + 100 B + 10 C + D a pak většinou probrat možnosti.
  od A_Rimmer
 stř 24. kvě 2017 10:24:33
Nj, probrat moznosti, to sa lahko povie.. :D

Ta necista, vylucovacia metoda mi je v celku jasna, ale vies nejak vysvetlit tuto "matematicku"??
1. (1000A+3000) + (100B+300) + (10C-40) + (D-4) =2 * 'ABCD'
pak
3000 + 300 - 40 - 4 = 3256 = 1*'ABCD'
Ako z toho prveho riadku dostal potom ten druhy? Len tam odignoroval tie cleny A, B, C, D, zratal to co zostalo a sedi to? Preco?
  od alkaatch
 stř 24. kvě 2017 10:53:53
1000*A + 3000 + 100*B + 300 + 10*C -40 + D-4 = 2000*A + 200*B + 20*C + 2*D
Pak odečtu od obou stran 1000*A, 100*B,10*C,D...
  od voki8
 stř 24. kvě 2017 10:55:24
A_Rimmer píše:Nj, probrat moznosti, to sa lahko povie.. :D

Ta necista, vylucovacia metoda mi je v celku jasna, ale vies nejak vysvetlit tuto "matematicku"??
1. (1000A+3000) + (100B+300) + (10C-40) + (D-4) =2 * 'ABCD'
pak
3000 + 300 - 40 - 4 = 3256 = 1*'ABCD'
Ako z toho prveho riadku dostal potom ten druhy? Len tam odignoroval tie cleny A, B, C, D, zratal to co zostalo a sedi to? Preco?
Nevím jestli tím vysvětlím přímo tuto metodu, ale zkusím to nějak matematicky.
Máme 4 čísla ABCD a 2 z nich musíme zvýšit o 3. Takže si ze 4 čísel vyberem vždy 2, které budeme zvyšovat.
Kolik možností, jak tyto dvě čísla vybrat máme? C (2,4) = 6
Budeme hledat 6 čísel - velkým písmenem označím ty, které budeme zvedat o 3 a ty ostatní malým písmenem.
Dostaneme těchto 6 kombinací.

ABcd
AbCd
AbcD
aBCd
aBcD
abCD

Teď označme 3 jako zvětšovací číslo (3*2 = 3+3) a 6 jako zmenšovací číslo (6*2 = 6 - 4).
A dosaďme tyto čísla do 6 kombinací.

Dostaneme

3366
3636
3663
6336
6363
6633

Problém je, že když daná čísla roznásobíme dvojkou, nebude to fungovat, protože vynásobení šestky zvedne řád čísla před šestkou o 1. Musíme tedy najít náhradní zmenšovací a zvětšovací číslo, která odolají zvětšení řádu.
Tyto čísla budou dvojka (2*2 +1 = 2+3) a pětka (5*2 + 1 = 5-4)

Takže vždy když za nějakým číslem je šestka, musí to číslo před ní změnit na náhradní, protože půjdeme přes řád.

Provedeme a máme řešení.

3256
2626
2563
6326
6263
5633

Nad tím vygoogleným se ještě musím zamyslet, to taky moc zdůvodnit ještě neumím.
  od hetmanek1337
 stř 24. kvě 2017 11:01:27
ABCD = 1000A + 100B + 10C + 10D
a to mas na obou stranach rovnice, takze to odectes z obou stran a zbyde ti na jeden strane jednou a na druhe jen ten zbytek 3000 + 300 + 40 + 4

mohl by jsi to zapsat takhle

(1000A+3000) + (100B+300) + (10C-40) + (D-4) =2 * 'ABCD' / -'ABCD' if ('ABCD' = 1000A + 100B + 10C + 10D)
3000 + 300 - 40 - 4 = 1*'ABCD'
3256 = 'ABCD'
  od hetmanek1337
 stř 24. kvě 2017 11:27:12
alkaatch píše:Tyhle úlohy bejvaj na střední v různých olympiádách (tada před 20 lety když jsem byl na střední...). Vždycky je to o tomhle:
'ABCD' = 1000 A + 100 B + 10 C + D a pak většinou probrat možnosti.

mam pocit, ze to tu nezaznelo a mozna to nekomu pomuze, kdo neni uplne matematicky zdatnej.

tenhle vzorec je reseni a cela pointa tehle ulohy je v tom, ze si clovek ma proste uvedomit, ze kazde cifre(a,b,c,d) pri vypoctu priradime jeji rad (1000,100,10,1) a tim se dostaneme k tomu vzorci. simple as that.
  od A_Rimmer
 stř 04. říj 2017 11:52:45
Taka celkom zaujimava "hra".. :cool:

http://ncase.me/trust/
  od alkaatch
 stř 04. říj 2017 20:06:28
To je jedna velmi známá GTO hra, která se správně jmenuje "Iterated Prisoners Dilemma" a je to jedna z nejvíce studovaných her v rámci teorie her, protože dokáže vysvětlit věci, které by v té "ne-iterované" teorii vysvětlit nešly. Pořádaly sse i turnaje botů v téhle hře. Dokonce jsem některé výsledky z toho používal v SnG na bublinách :bandit: Když hrajete SnG a jste na bublině reg vs reg, big vs big, tak je GTO strategie něco jako push 100%, call jenom KK+. Ale zajímavé je, že když BB udělá chybu a callne třeba TT, tak to sice oba stojí equity, ale toho SB to stojí více než toho BB, protože TT do K2o je katastrofa pro oba, ale přecejenom mnohem menší pro TT. Nemůžu tedy dělat nějaké spite cally a snažit se vychovat si soupeře, aby do mě pushoval méně než 100%? Tedy ten špatný call mě sice něco stojí v aktuálním SnG, ale vrátí se mi to v budoucích hrách? Tohle může a nemusí fungovat v závislosti na nějakých dalších předpokladech a parametrech, ty iterované hry jsou nástroj jak tohle analyzovat.
  od alkaatch
 stř 11. říj 2017 8:16:24
Jo to je přesně ono. Důležité při tom je, že ta hra musí mít nekonečně mnoho kol, což vypadá nereálně, ale v jistém smyslu to odpovídá skutečnosti.
Úvaha je asi taková:
1)když má hra jedeno kolo = opakuje se jen jednou, tak nemá smysl budovat si reputaci do dalších kol. Hraje se prostě Nash rovnováha té jednotahové hry.
2)když má hra konečný a předem známý počet kol a hráči jsou racionální, taky nemá smysl budovat si reputaci. V posledním kole totiž budou hrát jako v 1), protože už nemá smysl budovat si reputaci do dalších kol, která nebudou. Tím pádem ale nemá smysl budovat si reputaci ani v předposledním kole, protože chování v posledním kole stejně neovlivníme. Takže ani v před-před posledním si nemá smysl budovat reputaci atd.
3)ve hře s nekonečným počtem tahů budování reputace má smysl, protože před sebou vždy máme ještě nekonečný počet kol. Ale otázka je jak vůbec v takové hře počítat naše zisky. Smysl je v tom, že každé další kolo je méně a méně pravděpodobné - dejme tomu, že pravděpodobnost dalšího opakování hry je 90%. Takže 100% hrajeme jedno kolo, 90% hrajeme dvě kola, 81% hrajeme 3 kola atd. Náš zisk je potom součet nekonečné geometrické řady, která má konečný součet.
  od petr987987
 čtv 04. říj 2018 21:23:39
Mel bych tu jednu zajimavou hadanku ktera zni: "Začíná na 45 a pak jde z 75 na 10. O co jde ?"
  od A_Rimmer
 pát 05. říj 2018 6:48:54
Denny vyvoj ceny litecoinu v dolaroch. :)
  od psquest
 pát 05. říj 2018 14:15:17
Chlap co první ohnul manželku, pak matku a nakonec dceru.
  od nemohouci
 pát 03. kvě 2019 12:27:56
Dráhu označím "x". Dráha AB byla ujeta průměrnou rychlostí x/40, dráha CD průměrnou rychlostí x/60. Celá dráha měří 2x (s) a byla ujeta za x/40 + x/60 (t).

Vzoreček ze školy: s=v*t => v=s/t. Průměrná rychlost tedy je:

2*x/(x/40+x/60) = 2*x/(100*x/2400) = 2*x*2400/(100*x) = 48 (km(hod.)

Už jen ten výpočet jednpoznačně ukazuje, že délka dráhy je nezajímavá
  od nemohouci
 pát 03. kvě 2019 13:19:59
Hádanka „součin vs součet“

O dvou přirozených číslech, větších než „1“, víme následující. Profesor matematiky Ambrož zná jejich součin menší než „100“ a profesor matematiky Bernard zná jejich součet.
Mezi Ambrožem a Bernardem proběhl rozhovor:
Ambrož: „Nevím, která to jsou čísla.“ (1)
Bernard: „To jsem věděl.“ (2)
Ambrož: „A tak já už vím!“ (3)
Bernard: „A tak já už vím také!“ (4)
Která jsou to čísla?

Řešení.

Označíme Ambrože „A“ a Bernarda „B“. Každý z nich si vytvořil tabulku. Ta, kterou má „A“, obsahuje řádky s dvojicemi čísel v závorce, před kterou je uveden součet těch čísel a na počátku každého řádku stejný součin dvojic čísel v závorkách, ta, kterou má „B“, má před závorkami vždy součin těch čísel a na počátku řádku vždy stejný součet. V obou tabulkách podle podmínek nejsou dvojice čísel, z nichž alespoň jedno se rovná „1“. V tabulce součinů tak mohou chybět celé řádky (např. se součinem „37“ (1*37)) a tabulka končí řádkem s maximálním součinem „99“. V tabulce součtů např. řádek se součtem „3“ (1+2) a navíc v tabulce součtů samozřejmě chybí dvojice čísel, jejichž součin je větší nebo rovný „100“.

Platí a je zřejmé: - že „A“ si dokáže vytvořit tabulku, kterou má „B“ a naopak,
- že když „A“ zná nějaký součin, tak „B“ obecně zná několik odpovídajících součtů a „A“ neví
který,
- že když „B“ zná nějaký součet, tak „A“ obecně zná několik odpovídajících součinů a „B“ neví
který,
- že existuje méně zřejmá idea: - že pokud se podaří tabulku „A“ redukovat tak, že v ní
zůstanou pouze řádky s jedinou dvojicí čísel, které tvoří
součin a ta je jediná, která tvoří součet v tabulce „B“,
- že pokud se podaří tabulku „B“ redukovat tak, že v ní
zůstanou pouze řádky s jedinou dvojicí čísel, která tvoří
součet a ta je jediná, která tvoří součin v tabulce „A“,
- že pak taková dvojice čísel je řešením hádanky a takových
dvojic může být více,
- že cesta k redukovaným tabulkám bude postupná.

Tabulka možných součinů:
4 4(2,2)
6 5(2,3)
8 6(2,4) (r8)
9 6(3,3)
10 7(2,5)
12 7(3,4) 8(2,6)
14 9(2,7)
15 8(3,5)
16 8(4,4) 10(2,8)
18 9(3,6) 11(2,9)
20 9(4,5) 12(2,10)
21 10(3,7)
22 13(2,11)
24 10(4,6) 11(3,8) 14(2,12) r24)
25 10(5,5)
26 15(2,13)
27 12(3,9) (r27)
28 11(4,7) 16(2,14)
30 11(5,6) 13(3,10) 17(2,15)
32 12(4,8) 18(2,16) (r32)
33 14(3,11)
34 19(2,17)
35 12(5,7) (r35)
36 12(6, 6) 13(4, 9) 15(3,12) 20(2,18)
38 21(2,19)
39 16(3,13)
40 13(5,8) 14(4,10) 22(2,20)
42 13(6, 7) 17(3,14) 23(2,21)
44 15(4,11) 24(2,22) (r44)
45 14(5,9) 18(3,15)
46 25(2,23)
48 14(6, 8) 16(4,12) 19(3,16) 26(2,24) (r48)
49 14(7,7)
50 15(5,10) 27(2,25)
51 20(3,17) (r51)
52 17(4,13) 28(2,26)
54 15(6, 9) 21(3,18) 29(2,27)
55 16(5,11)
56 15(7, 8) 18(4,14) 30(2,28)
57 22(3,19)
58 31(2,29)
60 16(6,10) 17(5,12) 19(4,15) 23(3,20) 32(2,30)
62 33(2,31)
63 16(7,9) 24(3,21)
64 16(8, 8) 20(4,16) 34(2,32)
65 18(5,13)
66 17(6,11) 25(3,22) 35(2,33)
68 21(4,17) 36(2,34)
69 26(3,23)
70 17(7,10) 19(5,14) 37(2,35)
72 17(8, 9) 18(6,12) 22(4,18) 27(3,24) 38(2,36)
74 39(2,37)
75 20(5,15) 28(3,25)
76 23(4,19) 40(2,38)
77 18(7,11)
78 19(6,13) 29(3,26) 41(2,39)
80 18(8,10) 21(5,16) 24(4,20) 42(2,40) (r80)
81 18(9,9) 30(3,27) (r81)
82 43(2,41)
84 19(7,12) 20(6,14) 25(4,21) 31(3,28) 44(2,42)
85 22(5,17)
86 45(2,43)
87 32(3,29)
88 19(8,11) 26(4,22) 46(2,44)
90 19(9,10) 21(6,15) 23(5,18) 33(3,30) 47(2,45)
91 20(7,13)
92 27(4,23) 48(2,46)
93 34(3,31)
94 49(2,47) (r94)
95 22(5,19)
96 20(8,12) 22(6,16) 28(4,24) 35(3,32) 50(2,48)
98 21(7,14) 51(2,49) (r98)
99 20(9,11) 36(3,33) (r99)

Tabulka možných součtů:
4 4(2,2)
5 6(2,3)
6 8(2,4) 9(3,3)
7 10(2,5) 12(3,4)
8 12(2,6) 15(3,5) 16(4,4)
9 14(2,7) 18(3,6) 20(4,5)
10 16(2,8) 21(3,7) 24(4,6) 25(5,5)
11 18(2,9) 24(3,8) 28(4,7) 30(5,6)
12 20(2,10) 27(3,9) 32(4,8) 35(5,7) 36(6,6) (r12)
13 22(2,11) 30(3,10) 36(4,9) 40(5,8) 42(6,7)
14 24(2,12) 33(3,11) 40(4,10) 45(5,9) 48(6, 8) 49(7,7)
15 26(2,13) 36(3,12) 44(4,11) 50(5,10) 54(6,9) 56(7,8)
16 28(2,14) 39(3,13) 48(4,12) 55(5,11) 60(6,10) 63(7,9) 64(8,8)
17 30(2,15) 42(3,14) 52(4,13) 60(5,12) 66(6,11) 70(7,10) 72(8,9) (r17)
18 32(2,16) 45(3,15) 56(4,14) 65(5,13) 72(6,12) 77(7,11) 80(8,10) 81(9,9) (r18)
19 34(2,17) 48(3,16) 60(4,15) 70(5,14) 88(6,13) 84(7,12) 88(8,11) 90(9,10)
20 36(2,18) 51(3,17) 64(4,16) 75(5,15) 84(6,14) 91(7,13) 96(8,12) 99(9,11)
21 38(2,19) 54(3,18) 68(4,17) 80(5,16) 90(6,15) 98(7,14) (r21)
22 40(2,20) 57(3,19) 72(4,18) 85(5,17) 96(6,16)
23 42(2,21) 60(3,20) 76(4,19) 90(5,18)
24 44(2,22) 63(3,21) 80(4,20) 95(5,19) (r24)
25 46(2,23) 66(3,22) 84(4,21)
26 48(2,24) 69(3,23) 88(4,22)
27 50(2,25) 72(3,24) 92(4,23)
28 52(2,26) 75(3,25) 96(4,24)
29 54(2,27) 78(3,26) (r29)
30 56(2,28) 81(3,27)
31 58(2,29) 84(3,28)
32 60(2,30) 87(3,29)
33 62(2,31) 90(3,30) (r33)
34 64(2,32) 93(3,31)
35 66(2,33) 96(3,32)
36 68(2,34) 99(3,33)
37 70(2,35)
38 72(2,36)
39 74(2,37)
40 76(2,38)
41 78(2,39)
42 80(2,40)
43 82(2,41)
44 84(2,42) (r44)
45 86(2,43)
46 88(2,44)
47 90(2,45)
48 92(2,46)
49 94(2,47) (r49)
50 96(2,48)
51 98(2,49) (r51)


„B“ ví, že hledané dvojice čísel jsou pouze v těch řádcích, které by po odstranění nevyhovujících dvojic čísel obsahovaly jedinou dvojici čísel, např. v řádcích (r29) nebo (r33). Zda jsou zároveň řešením, si jist není. Jistotu bude mít za předpokladu, když dvojice čísel, která „by ráda byla řešením“, bude součin těch čísel tvořit jako jediná.
Naopak si je zcela jist, že dvojice čísel, která je řešením, se určitě nenachází v ostatních řádcích jeho tabulky, např. v řádku (r17) (obsahuje více než jednu dvojici čísel), protože taková dvojice čísel není v takovém řádku tabulky jednoznačně dohledatelná.
(Ví také, že v tabulce patřící „A“ neexistují řádky s jedinou dvojicí čísel.)

„A“ ví, že hledané dvojice čísel jsou pouze v řádcích se dvěmi dvojicemi čísel, např. v (r98) nebo (r99) a řešení nelze nalézt, pokud se nepodaří jednu z těchto dvou dvojic čísel odstranit tak, že zároveň ta druhá by „ráda byla řešením“. Řešením bude, když dvojice čísel bude součet těch čísel tvořit jako jediná.
Naopak si je zcela jist, že dvojice čísel, která je řešením, se určitě nenachází v ostatních řádcích jeho tabulky, např. v řádku (r18) (obsahuje více než dvě dvojice čísel), protože taková dvojice čísel není v takovém řádku tabulky jednoznačně dohledatelná.
(Ví také, že v tabulce patřící „B“ existují řádky s jedinou dvojicí čísel.)

Oba ví, že když se jim podaří redukovat počty dvojic čísel v tabulkách tak, že v tabulce patřící „B“ budou pouze řádky s jednou dvojicí čísel a v tabulce „A“ pouze řádky se dvěma dvojicemi čísel, bude řešení v dohlednu.
A už oba také ví, že když se v tabulce patřící „A“ podaří v řádcích se dvěma dvojicemi čísel jednu odstranit, takže tam zůstane dvojice čísel jediná, tak tato dvojice čísel snad už řešením bude (ale ani teď to není ještě úplně jisté).

Tedy, jak na to?

„A“ (je to matematik, nezapomínat) stále „vrtají“ v hlavě řádky, např. viz (r94) nebo (r35) (jejich součin je tvořen jedinou dvojicí čísel, součet jejích čísel je v prvním případě tvořen dvojicí čísel jedinou, viz r(49), zatímco v případě druhém dokonce pěti dvojicemi čísel, viz (r12)).
„Rozhoupe se“ a rozhodne, že hádanku „vylepší (zachrání)“ (viz poznámku na konci) odstraněním právě řádků s těmito „podivnými“ součiny. Jde samozřejmě o řádky s dvojicí prvočísel (součin, vytvořený dvojicí prvočísel je jediný) a z „pilnosti“ přidá ještě dvě dvojice čísel, viz řádky (r8) a (r27), protože ty jsou jedinečné také.

Pozn.: ideální dvojice (2,2) je exkluzivní a jediná existující, protože dokonce platí 2*2=4=2+2. Není ale řešením hádanky, protože dialog (1), který pronese „A“ později, použití dvojic prvočísel zakazuje.

Nová verze tabulky „A“:
12 7(3,4) 8(2,6)
16 8(4,4) 10(2,8)
18 9(3,6) 11(2,9)
20 9(4,5) 12(2,10)
24 10(4,6) 11(3,8) 14(2,12)
28 11(4,7) 16(2,14)
30 11(5,6) 13(3,10) 17(2,15)
32 12(4,8) 18(2,16) (r32)
36 12(6, 6) 13(4, 9) 15(3,12) 20(2,18)
40 13(5,8) 14(4,10) 22(2,20)
42 13(6, 7) 17(3,14) 23(2,21)
44 15(4,11) 24(2,22)
45 14(5,9) 18(3,15)
48 14(6, 8) 16(4,12) 19(3,16) 26(2,24) (r48)
50 15(5,10) 27(2,25)
52 17(4,13) 28(2,26)
54 15(6, 9) 21(3,18) 29(2,27)
56 15(7, 8) 18(4,14) 30(2,28)
60 16(6,10) 17(5,12) 19(4,15) 23(3,20) 32(2,30)
63 16(7,9) 24(3,21)
64 16(8, 8) 20(4,16) 34(2,32)
66 17(6,11) 25(3,22) 35(2,33)
68 21(4,17) 36(2,34)
70 17(7,10) 19(5,14) 37(2,35)
72 17(8, 9) 18(6,12) 22(4,18) 27(3,24) 38(2,36)
75 20(5,15) 28(3,25)
76 23(4,19) 40(2,38)
78 19(6,13) 29(3,26) 41(2,39)
80 18(8,10) 21(5,16) 24(4,20) 42(2,40) (r80)
81 18(9,9) 30(3,27) (r81)
84 19(7,12) 20(6,14) 25(4,21) 31(3,28) 44(2,42)
88 19(8,11) 26(4,22) 46(2,44)
90 19(9,10) 21(6,15) 23(5,18) 33(3,30) 47(2,45)
92 27(4,23) 48(2,46)
96 20(8,12) 22(6,16) 28(4,24) 35(3,32) 50(2,48)
98 21(7,14) 51(2,49) (r98)
99 20(9,11) 36(3,33) (r99)

je hotová a aby nějak dal na vědomí, co provedl a také proto, aby „B“ „věděl“, „A“ pronese klíčový

dialog (1).
„B“ tak ví, že se pracuje bez dvojic prvočísel, proto ze své tabulky dvojice prvočísel odstraní a z „ pilnosti“ odstraní i řádky, které obsahují více než jednu dvojici čísel (v několika případech mu tak vznikne řádek, viz např. (r33), s jedinou dvojicí čísel a takový zatím ponechá pro další zpracování). A také už ví, „A“ mu to naznačil více než jasně, že tabulka „A“ určitě nemá řádky s jedinou dvojicí čísel. Takže mu vznikla

„okřesaná“ tabulka „B“:
7 12(3,4)
31 84(3,28)
32 60(2,30)
33 90(3,30) (r33)
34 64(2,32)
37 70(2,35)
38 72(2,36)
40 76(2,38)
41 78(2,39)
42 80(2,40) (r42)
44 84(2,42) (r44)
46 88(2,44)
47 90(2,45)
48 92(2,46)
49 94(2,47) (r49)
50 96(2,48)
51 98(2,49) (r51)

která řádně „prozřela“. „B“ , aby nějak oznámil ukončení své akce a že „pochopil“, pronese

dialog (2).
„A“ tak ví, že „B“ pochopil a proto reagoval, a je si jist, že tabulku upravil (koneckonců je to také matematik, nezapomínat), takže provede další úpravy. Odstraní řádky s více než dvěmi dvojicemi čísel a u některých řádků se dvěmi dvojicemi čísel, viz např. (r32), si všimne, že je lze odstranit obě (takže řádek se doslova „vypaří“).

Zdůvodnění: řádek obsahuje dvě dvojice čísel. Součty dvojic čísel jsou „12“ a „18“, kde součet „12“ té první lze
vytvořit třemi dvojicemi (2,10), (4,8) a (6,6), viz (r12) a součet té druhé dokonce šesti dvojicemi,
viz r(18) (dvojice prvočísel samozřejmě už uvažovat nelze, stejně jako „speciální“ dvojici (3,9)
v řádku (r12)). Je zřejmé, že jednoznačný výběr dvojice čísel nelze provést a řádek odstraní.
Podobně „A“ postupuje u všech řádků, takže mu nakonec zůstane

torzo tabulky „A“:
76 23(4,19) 40(2,38)
92 27(4,23) 48(2,46)
98 21(7,14) 51(2,49) (r98)

„A“ jde ale ještě dál. Zajímá ho odpověď na zásadní otázku, zda v této tabulce dokáže vždy jednu z dvojic čísel řádku odstranit, protože pak by zůstala dvojice jediná a znal by tak dvojici čísel řešení.
Zkusí to např. u řádku (r98) a zjistí, že to lze.
Zdůvodnění: vyjde z úvahy. Protože on má součin „98“, má „B“ součet „21“ nebo „51“. V případě součtu „21“,
který je možné vytvořit součty čísel dvojic (1,20), (2,19), (3,18), (4,17), (5,16), (6,15), (7,14), (8,13)
a (9,12), kde dvojice (1,20), (8,13) a (9,12) nevyhovují podmínkám a součet (2,19) je dvojice
prvočísel, viz také (r21), zbývá pět dvojic čísel, takže dvojici čísel nelze jednoznačně určit a dvojici
(7,14) odstraní. Zároveň ví, že druhý součet „51“ je možné vytvořit pouze jedinou dvojicí (2,49),
protože dvojice, které součet mohou vytvořit, jsou (1,50), (2,49), (3,48), (4,47), …, (9,42), kde
dvojice (1,50) a (4,48), …, (9,42) nevyhovují podmínkám. Proto je dvojice (2,49) řešením. „A“ tak
postupuje u dalších řádků, takže mu nakonec zůstanou řádky vždy s jedinou dvojicí čísel, viz

tabulku „A“:
76 40(2,38)
92 48(2,46)
98 51(2,49) (r98)

kde každá dvojice čísel v řádku vytváří pouze jediný součet, viz např. řádek (r98). Proto prohlásí

dialog (3).
„B“ tak ví, že „A“ už dvojice čísel zná. „B“ má ve své tabulce řádky, z nichž může některé dvojice čísel (a tím i celé řádky) odstranit.
Zdůvodnění: např. dvojice čísel v řádku (r42) se součinem „80“. Rozklad součinu na prvočinitele je 2*2*2*2*5,
takže součin mohl vzniknout pomocí čtyř dvojic (8,10), (5,16), (4,20) a (2,40), takže dvojici čísel
nelze jednoznačně určit a dvojici (2,40) (a tím i celý řádek) odstraní. „B“ tak postupuje i u dalších
řádků, takže i jemu nakonec zůstanou řádky (vždy s jedinou dvojicí čísel), viz

tabulku „B“:
40 76(2,38)
48 92(2,46)
51 98(2,49) (r51)

kde každá dvojice čísel v řádku vytváří pouze jediný součin, viz např. řádek (r51). Proto prohlásí

dialog (4).
Oba, „A“ i „B“, tak znají řešení, jsou to dvojice (2,38), (2,46) a (2,49) (když „B“ pracuje např. se součtem „48“, ví podle své tabulky, že „A“ pracuje s jediným součinem „92“ - v tomto případě je tedy dvojice (2,46) jediná, která řeší rovnosti 92=2*46 a 48=2+46).


Poznámka na konci: hádanka se diametrálně změní, když se jednoduchým (přesto zásadním) způsobem dialog
změní např. na: - „A“: „Čísla už znám.“ (5)
- „B“: „Já už také!“ (6)
Takový dialog totiž znamená, že „A“ původní tabulku podstatně předělal na

tabulku „A“:
4 4(2,2)
6 5(2,3)
8 6(2,4)
9 6(3,3)
10 7(2,5)
14 9(2,7)
15 8(3,5)
21 10(3,7)
22 13(2,11)
25 10(5,5)
26 15(2,13)
27 12(3,9)
33 14(3,11)
34 19(2,17)
35 12(5,7)
38 21(2,19)
39 16(3,13) (r39)
46 25(2,23)
49 14(7,7)
51 20(3,17)
55 16(5,11) (r55)
57 22(3,19)
58 31(2,29)
62 33(2,31)
65 18(5,13)
69 26(3,23)
74 39(2,37)
77 18(7,11)
82 43(2,41)
85 22(5,17)
86 45(2,43)
87 32(3,29)
91 20(7,13)
93 34(3,31)
94 49(2,47)
95 22(5,19)

do které přidal dvě „speciální“ dvojice (2,4) a (3,9) (i když nejde o dvojice prvočísel, jsou také jedinečné) a následně odstranil dvojice řádků, u kterých je součet čísel dvojic shodný, viz např. řádky (r39) a (r55). Takový součet by totiž určoval řádek v tabulce „B“ obsahující dvě dvojice čísel, viz řádek (r16) a „B“ by nedokázal dvojici čísel jednoznačně určit (takových dvojic je 7, jsou tučně označené). Takže

tabulka „A“:
4 4(2,2)
6 5(2,3)
10 7(2,5)
14 9(2,7)
15 8(3,5)
22 13(2,11)
26 15(2,13)
33 14(3,11)
34 19(2,17) (r34)
38 21(2,19)
46 25(2,23)
49 14(7,7)
58 31(2,29) (r58)
62 33(2,31)
69 26(3,23)
74 39(2,37)
82 43(2,41)
86 45(2,43)
87 32(3,29)
93 34(3,31)
94 49(2,47)
95 22(5,19)

je nyní změněná a „B“, který dialog slyšel, ví, že se pracuje s dvojicemi prvočísel a že „A“ má tabulku, jejíž všechny řádky obsahují právě jedinou dvojici čísel. Takže i on svou původní tabulku nejprve předělá na

tabulku „B“:
4 4(2.2)
5 6(2,3)
6 8(2,4) 9(3,3)
7 10(2,5)
8 15(3,5)
9 14(2,7)
10 21(3,7) 25(5,5)
12 27(3,9)2 35(5,7)
13 22(2,11)
14 33(3,11)
15 26(2,13)
16 39(3,13) 55(5,11) (r16)
18 65(5,13) 77(7,11)
19 34(2,17)
20 51(3,17) 91(7,13)
21 38(2,19)
22 57(3,19) 85(5,17)
24 95(5,19)
25 46(2,23)
26 69(3,23)
31 58(2,29)
32 87(3,29)
33 62(2,31)
34 93(3,31)
39 74(2,37)
43 82(2,41)
45 86(2,43)
49 94(2,47)

a zjišťuje, že obsahuje řádky, např. řádek (r16), ve kterém se nachází dvě dvojice čísel, takže by se dvojice čísel řešení nedala jednoznačně určit. Proto tento řádek a další podobné odstraní, takže nakonec má

tabulku „B“:
4 4(2,2)
5 6(2,3)
7 10(2,5)
8 15(3,5)
9 14(2,7)
13 22(2,11)
14 33(3,11)
15 26(2,13)
19 34(2,17) (r19)
21 38(2,19)
24 95(5,19)
25 46(2,23)
26 69(3,23)
31 58(2,29) (r31)
32 87(3,29)
33 62(2,31)
34 93(3,31)
39 74(2,37)
43 82(2,41)
45 86(2,43)
49 94(2,47)

Nalezení dvojic čísel, které jsou řešením, je triviální, stejně jako jsou triviální obě tabulky.
Např. „B“ z řádku (r31) ví, že „A“ zná jediný součin „58“ a že dvojice (2,29) je řešením, viz řádek (r58) a „A“ z řádku (r34) ví, že „B“ zná jediný součet „19“ a že dvojice (2,17) je řešením, viz řádek (r19).
„A“ i „B“ tak hledané dvojice čísel ihned znají (hádanka degenerovala) a dialog (6) je prakticky zbytečný.
Opět je potřeba připomenout, jak klíčový je dialog (1).

Hádanka je skvěle suchopárná, proto může mnohé řešitele značně rychle odradit, ale jejímu tvůrci autor řešení (tvůrce nezná, ale ví, že to je lišák) gratuluje, vymyslel ji parádně.
(Hádanku lze řešit i množinovými operacemi, stejně suchopárnými, jako hádanka, nad množinami vyhovujících dvojic čísel.)

V Brně, duben 2019
  • 1
  • 25
  • 26
  • 27
  • 28
  • 29